BLOQUE III: Funciones polimoniales de grado 0, 1, y 2

Situaciones de un modelo de cero, uno y dos grados, empleando criterios de comportamiento de datos 

La función polinomial se llama así porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:

f(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ... +a0x0

Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como por ejemplo:

f(x)=3x4-5x+6 se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales.

En la figura se pueden ver las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor que 3.

Observa la forma según su grado:

Las de grado cero como f(x)=2, son rectas

horizontales;

Las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas

oblicuas;

Las de grado dos, como f(x)=2x2+4x+3, son

parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas.

El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos

FUNCIONES DE GRADO 0:

  La formula de la funcion de grado 0 es la siguiente: F(x)= a

por ejemplo:

 �� �� =7. Es de grado cero, se le conoce como función constante.

FUNCIÓN DE GRADO 1: 

La formula de la función de grado 1 es.. F(x)=ax+b



Termino Independiente. En cualquier función f(x) el corte de su gráfica con el eje OY o eje de ordenadas, es el punto [0, f(0)], por tanto su valor en cero define el corte con el eje de ordenadas. En el caso de las funciones polinómicas f(0) coincide con el coeficiente de grado cero o término independiente de la función, por tanto nada más ver la expresión ya reconocemos un punto de su gráfica, el corte en el eje de ordenadas

La gráfica de f(x)=ax+3 corta en (3,0)

Termino Pendiente. Es fácil ver que al modificar el coeficiente de x en estas funciones, lo que cambia es la inclinación de la recta, y ésta se mide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas, es decir, la pendiente de la recta

La pendiente de la recta f(x)=ax+b es "a"

FUNCIÓN DE GRADO 2:

                                                          

                                                La parábola f(x)=ax^2+bx+c

f(x)= ax^2

 La gráfica de las funciones polinómicas de segundo grado es una parábola de eje vertical. Observa en la figura cómo se construye la gráfica de f(x)=a·x2 y como cambia según los valores y el signo de a.

• Es simétrica respecto al eje OX.
• El signo de a determina la concavidad de la gráfica.

• Si a>0, tiene un mínimo en (0,0)

• Si a<0 tiene un máximo en (0,0)

^Representar Funciones Cuadráticas: Para representar una función de segundo grado            f(x)=ax2+bx+c comenzamos por colocar su vértice: [(2ab− , f(2ab−)]. Se dibuja el eje de simetría y a continuación hacemos una tabla de valores aumentando en una unidad el valor de x cada vez. Cuando tenemos algunos puntos dibujamos los simétricos. Al igual que en otras representaciones gráficas es interesante hallar los puntos de corte con los ejes.

• El corte con el eje 0y es c
• Los cortes con el eje 0x son las soluciones de la ecuación ax^2+bx+c

Características de las funciones polinómicas de grados: cero, uno y dos. El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el  polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se  muestra en las siguientes funciones: Es de grado cero, se le conoce como función constante.  Es de grado uno, también conocida como función lineal.  Es de grado dos, se le conoce como función cuadrática. Parámetros de las funciones de grado: cero, uno y dos. -La función constante.  La función de grado cero es la que se conoce como  función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició  con ella en el primer bloque; su forma es:   f(x)= a, donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a) -La función lineal.  La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen  es: y=mx+b Donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen. Vista como una función se representa de la siguiente manera: f(x) = mx+b -La función cuadrática.  Las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2,  éstas se expresan en su forma general como f(x)= ax^2+bx+c ,con la  condición de que su coeficiente principal es diferente de cero (a ≠ 0)   La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que  aparezcan en ellas.

BLOQUE II: Funciones especiales y transformaciones de gráficas

Diferentes tipos de funciones matemáticas así como operaciones y transformaciones algebraicas o geométricas 

Las funciones matemáticas se pueden representar de diversa maneras, una de ellas es la forma gráfica.

Por ejemplo; sea la función: F(x) = 5

En la tabla se identifica que según el dominio de la función pueden ser todos los números reales el domino permanece siendo el mismo. Es un valor constante.

x	y
0	5
1	5
2	5

De la misma manera, hay funciones que son diferentes, no entran en las clasificaciones de polinomiales, racionales o trascendentales.  A estas funciones se les conoce como especiales.

Su gráficas son muy particulares y de igual manera mantiene un su domino y su rango determinado por la expresión o por la situación dónde se aplique.

CONSTANTE      f(x) = K  

IDÉNTIDAD     f(x) = x      

VALOR ABSOLUTO   f(x) = │x│

ESCALONADA    f(x) = [x]

Como podemos ver, cada una de las funciones especiales que se presentan, tiene una forma gráfica distinta y dado que las operaciones para obtener su gráficas es muy sencilla, eso indica su relevancia y su titulo de “funciones especiales”

estas son las explicaciones de las siguientes funciones mostradas

FUNCIÓN ESCALONADA.

• Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en R, f:[a,b] ¾® R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

 La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.

FUNCIÓN IDENTIDAD.

Su función Básica es F(x)=X Su nombre proviene del hecho, que el valor del dominio (X),sera el mismo o idéntico valor que el contra dominio (Y)con esta condicción es una función única.

• *Función Continua
• *Dominio del (-) infinito hasta mas infinito.
• *Es de primer grado ( Linea Recta )
• *Tiene pendiente, 1 creciente
• *Su alguno de inclinación es de 45 grados
• *Debe pasar por el origen
• *A la vez es inyectiva, Inyectiva

FUNCIÓN CONSTANTE.

La función constante es del tipo: y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticales

Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

x = K

BLOQUE I: Operaciones con distintos tipos de funciones

Características matemáticas que definen las relaciones entre dos magnitudes enfatizando las de carácter funcional  

Funciones

En matemáticas, una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Por ejemplo: el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A=π·r²

Todas las funciones se clasifican necesariamente dentro de uno de los dos conjuntos infinitos de funciones, que son:

• Conjunto de funciones elementales, formadas por los polinomios, el cociente de polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, las funciones exponencial y logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores mediante operaciones algebraicas o composición de funciones.
• Conjunto de funciones no-elementales, son el resto de funciones, es decir, cualquier función que no puede ser obtenida mediante un número finito de pasos combinando funciones elementales es una función no elemental.

Una función puede venir dada en forma explícita o en forma implícita. Una fórmula explícita tiene la forma:

que permite calcular directamente el valor de y dado el valor de x. Por el contrario una función está en forma implícita si la variable dependiente no está explicitada respecto a la variable independiente, expresándose de la forma:

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Magali	55
Jonathan	68
Renata	52
Adrián	78
Carlos	60

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

con esta explicacion vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Dominio y rango de una función

El rango es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

Por ejemplo la función f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función   tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

En el caso de la función  , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que  x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.